limx→0ex+e-x-2x এর মান কত?

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{x}$ এর মান কত?

Created: 4 years ago | Updated: 1 year ago

Updated: 1 year ago

ক

1
খ

-1
গ
ঘ

1/2

506

ব্যাখ্যাঃ

প্রদত্ত লিমিটটি হলো:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x} \]

প্রথমে আমরা $x=0$ বসিয়ে ফাংশনের মান নির্ণয় করি:

লব (Numerator) = $e^0 + e^{-0} - 2 = 1 + 1 - 2 = 0$

হর (Denominator) = $0$

যেহেতু এটি $\frac{0}{0}$ আকারের একটি অনির্ণেয় রূপ (Indeterminate form), আমরা L'Hopital's Rule (লা-হসপিটালের নিয়ম) প্রয়োগ করতে পারি। L'Hopital's Rule অনুযায়ী, যখন একটি লিমিট $\frac{0}{0}$ বা $\frac{\infty}{\infty}$ আকারে থাকে, তখন আমরা লব এবং হরকে আলাদাভাবে অন্তরীকরণ (differentiate) করে নতুন লিমিট বের করতে পারি।

বিস্তারিত সমাধান:

ধরি, $f(x) = e^x + e^{-x} - 2$

এবং $g(x) = x$

এখন, $f(x)$ কে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

$f'(x) = \frac{d}{dx}(e^x + e^{-x} - 2)$

$f'(x) = e^x - e^{-x}$

এবং $g(x)$ কে $x$-এর সাপেক্ষে অন্তরীকরণ করি:

$g'(x) = \frac{d}{dx}(x)$

$g'(x) = 1$

L'Hopital's Rule প্রয়োগ করে আমরা পাই:

\[ \lim_{x \to 0} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to 0} \frac{f'(x)}{g'(x)} \] \[ = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{1} \]

এখন $x=0$ বসিয়ে মান নির্ণয় করি:

\[ = \frac{e^0 - e^{-0}}{1} \] \[ = \frac{1 - 1}{1} \] \[ = \frac{0}{1} \] \[ = 0 \]

সুতরাং, প্রদত্ত লিমিটের মান $0$।

প্রদত্ত অপশনগুলো হলো 1, -1, 1/2। আমাদের নির্ণয়কৃত মান $0$ অপশনগুলোর মধ্যে নেই।

প্রদত্ত শর্ত বা তথ্য অনুযায়ী এখানে কোনো অপশনই সঠিক নয়।

Satt AI

4 months ago

MCQ: 500

Practice

লিমিট

গণিতে লিমিট (Limit) হল একটি ধারণা যা কোন ফাংশন বা ধারার একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে এগিয়ে যাওয়ার প্রবণতাকে প্রকাশ করে। সাধারণভাবে বলতে গেলে, লিমিট একটি ফাংশন বা ধারার আচরণ নির্ধারণ করে যখন চলক (variable) একটি নির্দিষ্ট মান বা অসীমের দিকে অগ্রসর হয়।

লিমিটের সংজ্ঞা:

যদি একটি ফাংশন $ f(x) $ এর চলক $ x $ একটি নির্দিষ্ট মান $ a $ এর দিকে অগ্রসর হলে $ f(x) $ একটি নির্দিষ্ট মানের দিকে অগ্রসর হয়, তাহলে বলা হয়, $ f(x) $ এর $ x $ $ a $-এর দিকে গেলে লিমিট হলো ঐ নির্দিষ্ট মান।

এটি সাধারণত এভাবে লেখা হয়:

\[
\lim_{x \to a} f(x) = L
\]

এখানে $ L $ হল সেই নির্দিষ্ট মান যা $ f(x) $ পৌঁছায় যখন $ x $ $ a $-এর দিকে অগ্রসর হয়।

লিমিটের প্রয়োগ:

ধারাবাহিকতা নির্ধারণে: ফাংশনের একটি বিন্দুতে ধারাবাহিকতা যাচাই করতে লিমিট ব্যবহার করা হয়।
ডেরিভেটিভ নির্ণয়ে: ফাংশনের ঢাল বা তাৎক্ষণিক পরিবর্তনের হার নির্ধারণে লিমিট গুরুত্বপূর্ণ ভূমিকা পালন করে।
ইন্টিগ্রেশন ও অ্যাসিম্পটোটিক বিশ্লেষণে: লিমিট ব্যবহার করে ক্ষেত্রফল বা ভলিউম নির্ণয় করা যায়, যা অনেক ক্ষেত্রে অসীম পর্যন্ত প্রসারিত হয়।

লিমিট গণিতের একটি মৌলিক ধারণা এবং এটি ক্যালকুলাসের ভিত্তি স্থাপন করে, যা প্রাকৃতিক এবং প্রযুক্তিগত বিজ্ঞানের অনেক ক্ষেত্রে গুরুত্বপূর্ণ।

Notification

$\lim_{x \to 0} \frac{e^{x} + e^{- x} - 2}{x}$ এর মান কত?

লিমিটের সংজ্ঞা:

লিমিটের প্রয়োগ:

Related Question

Related Question

Question Analytics

Promotion